Rođen u Novom Sadu, Kojić pripada vodećim dirigentskim imenima mlađe generacije. 

Posle završenih osnovnih i specijalističkih studija dirigovanja na Fakultetu muzičke umetnosti u Beogradu, usavršavao se na nekoliko različitih majstorskih kurseva: u Beogradu kod prof. Uroša Lajovica, Beču kod prof. Marka Stringera (Universität fűr Musik und darstellende Kunst, Wien), Majncu – kursevi iz horskog dirigovanja (prof. Ervin Ortner i Frider Bernius), Utrehtu – kursevi iz horskog dirigovanja (prof. Timoti Braun), kao i na radionicama za staru muziku (Helmut Riling – Majnc i Ton Kopman – Utreht).

U septembru 2017. usavršavao se u Raveni (Italija) na Italijanskoj operskoj akademiji koju je vodio Rikardo Muti.

Godine 2010. dobija poziv za mesto dirigenta u Operi Srpskog narodnog pozorišta (SNP) u Novom Sadu. 

Od avgusta 2012. do aprila 2014. bio je direktor Opere Srpskog narodnog pozorišta.

Pored standardnog operskog repertoara, dokazao se i na polju moderne opere.

Izvođenjem opere "Mileva", savremene kompozitorke Aleksandre Vrebalov obeležena je 150. godišnjica Srpkog narodnog pozorišta u Novom Sadu. Ova opera je odvela Operu SNP na prestižan Operski festival ARMEL u Mađarskoj. Francuska televizija ARTE snimila je izvođenje na ovom festivalu, nakon čega je "Mileva" ušla u prvih 15 svetskih produkcija koje je ova televizija snimala tokom 2012. godine.

Alkesandar Kojić je zaslužan za prvo izvođenje muzike Riharda Štrausa u Srpskom narodnom pozorištu (2014. izveden je Gala koncert sa odlomcima iz opera “Kavaljer s ružom“, „Ariadna na Naksosu“ i „Saloma“ a u povodu
obeležavanja 150. godina od rođenja kompozitora) kao i premijerno izvođenje kantate "Aleksandar Nevski" Sergeja Prokofjeva.

Povodom sto godina od rođenja Rudolfa Bručija (2017.) Kojić je premijerno izveo Bručijev balet "Katarina Izmailova".

Pored dirigovanja, Kojić se aktivno bavi orkestriranjem i aranžiranjem. Njegov celovečernji balet "Dama s kamelijama" na muziku iz Verdijeve "Travijate" otvorio je sezonu 2018/2019 SNP-a. 

Opera Isidora Bajića "Knez Ivo od Semberije" u Kojićevoj redakciji i orekstraciji premijerno je izvedena je 2015. SNP u Novom Sadu, a potom i na "Mokranjčevim danima" u Negotinu.

U proteklih nekoliko godina Kojić je gostovao u Hrvatskom narodnom kazalištu (HNK) u Zagrebu i HNK "Ivana pl. Zajca" Rijeka (Hrvatska), Segedinskoj operi (Mađarska), Teatru Opere i Baleta u Krasnojarsku (Rusija), Državnom teatru u Braunšvajgu (Nemačka)...

Sarađivao je sa Vojvođanskim simfonijskim orkestrom, Beogradskom filharmonijom, Simfonijskim orkestrom RTS, Zrenjaninskom, Subotičkom i Banjalučkom filharmonijom, Niškim simfonijskim orkestrom, Orkestrom "Češki virtuozi" iz Brna, Kamernim orkestrima "Kamerata akademika", Državnim orkestrom iz Braunšvajga (Nemačka).

Nosilac je šest godišnjih nagrada Srpskog narodnog pozorišta.